Logique

La logique est l'étude formelle et l'utilisation des relations entre propositions, permettant de déterminer si elles sont cohérentes, utiles et exactes ou encore merdiques. Un raisonnement logique est un raisonnement dont la conclusion découle des prémices. Un raisonnement construit correctement se démontre lui même car chaque étape séparant les prémices de la conclusion est forcément vrai, pour peu que l'on admette les prémices. Un raisonnement logiquement valide peut donc conduire à une conclusion fausse si une ou des prémices sont fausses.

Lorsque la structure logique d'une argumentation est mauvaise, on parle de paralogisme, de sophisme ou encore de raisonnement fallacieux.

La logique classique (aristotélicienne) pose que chaque proposition a deux états exclusifs: vrai ou faux (des logiques modernes comme la logique probabiliste ou la logique floue compliquent l'affaire en mettant des états intermédiaires).

Logique formelle
La logique formelle utilise un langage formel abstrait (ressemblant aux équations mathématiques) pour remplacer le langage naturel et ne considérer que les relations entre propositions sans considérer les entités. Chaque étape du raisonnement formel est alors vrai pour peu que les données de départ soient vraies. Si chaque étape peut paraître sans intérêt car évidente, il est possible de constituer des raisonnements longs formellement vrais car chaque étape est évidente.

On parle également de logique symbolique ou mathématique.

Langage formel classique
Le Langage formel classique s'appuie sur ensembles d'atomes de raisonnement à deux états.

Ces ensembles sont traditionnellement divisés en deux parties: L'origine et le contrôle de l'information. L'origine ou adresse est liée a un contexte souvent doté de garanties dans des structure bien hiérarchisées généralement représentées dans des arbres d'index de données: Des registres. Un composant dichotomique du contrôle précise souvent qu'il s'agit d'une commande.

En s'appuyant sur le principe de bascule Maitre-Esclave qui permet de modifier les réponses consécutives a des ordres identiques, on induit une forme d'intelligence artificielle qui conduit rapidement au language Homme-Machine.

Partant d'un language logique prédéfini, on peut multiplier les opérations: On ajoute une partie en divisant une des parties par deux.

Quatre atomes suffiront pour définir seize opérations élémentaires comme l'enregistrement, la représentation, la comparaison et autres manipulations d'éléments d'un ensemble dans l'autre. La machine ne remplace pas complètement l'homme, mais celui-ci n'a plus autant besoin de réfléchir. Le langage formel utilisé dépend du type de logique utilisé:

Logique des propositions :

Les lettres désigne des assertions, on utilise les connecteurs suivants :

$$\lor$$ (OU logique), $$\land$$ (ET logique), $$\Rightarrow$$ (Implication) et l'opérateur unaire NON : $$\lnot $$ Le ou logique présenté est un ou inclusif, c'est à dire l'un, l'autre ou les deux. L'implication logique A$$\Rightarrow$$B (lue A implique B) équivaut à B$$\lor \lnot$$A (B ou non A).

Exemples : Soit le raisonnement suivant exprimé en langage naturel :

Si le vent souffle aujourd'hui, alors il pleuvra demain, or demain il pleuvra, donc le vent souffle aujourd'hui. On traduit en langage formel sans se soucier du sens des assertions de base (le vent souffle aujourd'hui et il pleuvra demain)(le vent souffle aujourd'hui : A, il pleuvra demain : B):

$$(A \Rightarrow B) \land B$$ équivalant à $$(B \lor (\lnot A)) \land B$$ on remarque qu'il est impossible d'en inférer A, donc on en déduit que le raisonnement est formellement invalide.

Soit maintenant celui-ci : Je ne bois que quand j'ai soif ou quand j'ai envie d'oublier, cas dans lesquels je bois toujours. si je bois alors que je n'avais pas soif, alors je vomis, par contre je ne vomis jamais quand j'étanche ma soif. Sachant que j'ai bu sans vomir, j'avais soif. (A : je bois, B : J'ai soif, C: je vomis, D: j'ai envie d'oublier) $$((B \lor D) \Rightarrow A) \land (A \Rightarrow (B \lor D)) \land ((A \land (\lnot B)) \Rightarrow C) \land ((A \land B) \Rightarrow (\lnot C)) \land (A \land (\lnot C)$$ On en infère $$ A\land \lnot C \Rightarrow B$$ d'où l'on infère B. Donc le raisonnement est formellement valide.

Calcul des prédicats:

Le calcul des prédicats ajoute les quantificateurs $$\exists$$ (il existe), $$\forall$$ (pour tous), auxquels on peut ajouter $$\exists !$$ (il existe un seul) au calcul des propositions.

exemples: Tous les hommes (H) sont mortels (M), Socrate (S) est un homme, donc Socrate est mortel.

$$(\forall A \in H, M )\land S \in H$$

Comme on en infère bien S est M, le raisonnement est valide.

Certains hommes (H) sont mortels (M), Socrate (S) est un homme, donc Socrate est mortel.

$$(\exists A \in H, M )\land S \in H$$

Il est impossible d'inférer la conclusion des prémisses, le raisonnement est invalide.