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Logique

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Cet article est une ébauche portant sur la logique.

La logique est l'étude formelle et l'utilisation des relations entre propositions, permettant de déterminer si elles sont cohérentes, utiles et exactes ou encore merdiques. Un raisonnement logique est un raisonnement dont la conclusion découle des prémices. Un raisonnement construit correctement se démontre lui même car chaque étape séparant les prémices de la conclusion et forcément vrai, pour peu que l'on admette les prémices. Un raisonnement logiquement valide peut donc conduire à une conclusion fausse si une ou des prémices sont fausses.

Lorsque la structure logique d'une argumentation est mauvaise, on parle de paralogisme, de sophisme ou encore de raisonnement fallacieux.

La logique classique (aristotélicienne) pose que chaque proposition a deux états exclusifs: vrai ou faux (des logiques modernes comme la logique probabiliste ou la logique floue compliquent l'affaire en mettant des états intermédiaires).

Logique formelle[edit]

La logique formelle utilise un langage formel abstrait (ressemblant aux équations mathématiques) pour remplacer le langage naturel et ne considérer que les relations entre propositions sans considérer les entités. Chaque étape du raisonnement formel est alors vrai pour peu que les données de départ soient vraies. Si chaque étape peut paraître sans intérêt car évidente, il est possible de constituer des raisonnements longs formellement vrais car chaque étape est évidente.

On parle également de logique symbolique ou mathématique.

Langage formel classique[edit]

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Le langage formel utilisé dépend du type de logique utilisé:

Logique des propositions :

les lettres désigne des assertions, on utilise les connecteurs suivants :

\lor (OU logique), \land (ET logique), \Rightarrow (Implication) et l'opérateur unaire NON : \lnot Le ou logique présenté est un ou inclusif, c'est à dire l'un, l'autre ou les deux. L'implication logique A\RightarrowB (lue A implique B) équivaut à B\lor \lnotA (B ou non A).

exemples : Soit le raisonnement suivant exprimé en langage naturel : Si le vent souffle aujourd'hui, alors il pleuvra demain, or demain il pleuvra, donc le vent souffle aujourd'hui. On traduit en langage formel sans se soucier du sens des assertions de base (le vent souffle aujourd'hui et il pleuvra demain)(le vent souffle aujourd'hui : A, il pleuvra demain : B):

(A \Rightarrow B) \land B équivalant à (B \lor (\lnot A)) \land B on remarque qu'il est impossible d'en inférer A, donc on en déduit que le raisonnement est formellement invalide.

Soit maintenant celui-ci : Je ne bois que quand j'ai soif ou quand j'ai envie d'oublier, cas dans lesquels je bois toujours. si je bois alors que je n'avais pas soif, alors je vomis, par contre je ne vomis jamais quand j'étanche ma soif. Sachant que j'ai bu sans vomir, j'avais soif. (A : je bois, B : J'ai soif, C: je vomis, D: j'ai envie d'oublier) ((B \lor D) \Rightarrow A) \land (A \Rightarrow (B \lor D)) \land ((A \land (\lnot B)) \Rightarrow C) \land ((A \land B) \Rightarrow (\lnot C)) \land (A \land (\lnot C) On en infère  A\land \lnot C \Rightarrow B d'où l'on infère B. Donc le raisonnement est formellement valide.

Calcul des prédicats:

Le calcul des prédicats ajoute les quantificateurs \exists (il existe), \forall (pour tous), auxquels on peut ajouter \exists ! (il existe un seul) au calcul des propositions.

exemples: Tous les hommes (H) sont mortels (M), Socrate (S) est un homme, donc Socrate est mortel.

(\forall A \in H, M )\land S \in H

Comme on en infère bien S est M, le raisonnement est valide.

Certains hommes (H) sont mortels (M), Socrate (S) est un homme, donc Socrate est mortel.


(\exists A \in H, M )\land S \in H

Il est impossible d'inférer la conclusion des prémisses, le raisonnement est invalide.